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  <title>动态规划（一） | choichumgming's blog</title>
  








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          <h1 class="post-title" itemprop="name headline">动态规划（一）</h1>
        

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        <h5 id="简单背包问题"><a href="#简单背包问题" class="headerlink" title="简单背包问题"></a>简单背包问题</h5><p>可以用递归和枚举的方式解决</p>
<ul>
<li>枚举：<br>假设有n个物品可以选择，那么就有2的n次方种可能性，因为一个物品可以决定选还是不选。然后，则是列举这所有的可能性。用一个数组记住每个物品的状态。循环2的n次方次，在这基础上，往里面镶嵌两个循环（这两个循环并不镶嵌），前一个循环，是专门用来改变标记数组里面的状态，后一个循环是根据上个循环改变的标记数组的状态，来选择选哪些元素。<code>这个方法，需要将2的n次方中选择全部试一遍</code></li>
<li>递归：<br>  设置选与不选的情况，设置好边检情况</li>
</ul>
<h5 id="0-1背包问题"><a href="#0-1背包问题" class="headerlink" title="0/1背包问题"></a>0/1背包问题</h5><p>&emsp; 解题步骤：确定变量、画表分析、确定动态规划方程<br><br></p>
<ul>
<li>假设书包能承重m,有n样东西。然后将东西分成一样一样的，意思就是1~n，以1为单位分成一段段，同时也需要需要把书包1~m范围内，分成一段一段，每段所能达到的物品最重的状态求出来。<br>&emsp;  例如先取第一样东西，然后算出在1~m各个重量段的最大价值算出来，再放入第二样东西，以此类推。<br>&emsp; 当要放入下一个物品时，由于每次计算都只会用到下标小于当前下标的数据，所以当前下标之前的位置的数据还都是没有放进当前物品的状态，因此这样计算出来的数据每个物品最多只能放入一个
&emsp;然后假设到达了当前物体的当前重量段且该重量段要比该物品重量重，这时候要求出当前最大价值，要判断取不取当前这个物体，要先和算出不取这个物体时，当前重量段的重量减去当前物品重量对应的重量段的值的最大价值，与取了该物品的最大价值相比，哪个大。<br><br></li>
</ul>
<blockquote>
<p>有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。<br>    1.基本思路<br>这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。<br><code>用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。</code><br>这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，<code>若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f [i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。</code><br>以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。<br><figure class="highlight java"><table><tr><td class="gutter"><pre><div class="line">1</div><div class="line">2</div><div class="line">3</div></pre></td><td class="code"><pre><div class="line"><span class="keyword">for</span> i=<span class="number">1</span>..N</div><div class="line"><span class="keyword">for</span> v=V..<span class="number">0</span></div><div class="line">f[v]=max&#123;f[v],f[v-c[i]]+w[i]&#125;;</div></pre></td></tr></table></figure></p>
<p>其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i- 1][v-c[i]]}，因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。</p>
</blockquote>
<h5 id="货币问题"><a href="#货币问题" class="headerlink" title="货币问题"></a>货币问题</h5><ul>
<li>类似01背包问题。<br>&emsp;有货币的种数n,有货币的面值v，有需要的钱数p<br>&emsp;和上面一样，我们需要将钱数分为1~p元，我们可以按顺序，一种一种的取货币种类，我们可以先求出第一种货币可以组合成1~p元的组合数一个一个求出来，用一个数组存着，<br>&emsp;假设第一种货币的面值为v1，钱数为p1，则fn[p1]= fn[p1]+fn[p1-v1]<br>&emsp;然后第二种货币v2 ，在到达钱数为p1是，也是fn[p1]= fn[p1]+fn[p1-v2]，然后以此类推下去。<br>&emsp;因为，第二种货币在第一种的基础上，又加多了当前钱数减去第二种货币面值的数量的方法数，可以理解为：<br>&emsp;当钱数p2（p1+v2）时，这时候如果有面值v2，则多了p1种种类数方法。<br>&emsp;当货币的种类数增加，fn数组也会不断被更新。</li>
</ul>
<h5 id="数字分组问题"><a href="#数字分组问题" class="headerlink" title="数字分组问题"></a>数字分组问题</h5><p><code>有时候要考虑dp的顺序，因为从前往后有可能会重复选取多次相同的东西，因为前面取了一次，当在后面判断时又取一次，会一直不断重复取</code><br>&emsp;题型1：给出一堆数字，分成两堆，使他们质量之差最小，取出这个最小值。<br>&emsp;问题等价于从n个物品中选取若干个，其重量不超过sum/2,且重量达到最大。以所有的物品的重量和为背包容量，进行0/1背包，最后求两堆的最小差。1~sum内，选取sum-dp[i]-dp[i]的最小值<br><br><br>&emsp;题型2：已知一堆物品的重量，问如何分成两堆，使得他们质量和之差最大，但不能大于（等于）这些数中的最大数。<br>&emsp;设和为sum，最大数为max，则相差最大时，两组的和分别是（sum+max）/2和(sum-max)/2 之间，就可以转换成尽量填满一个容积为（sum+max）/2的包，最后的值一定大于sum/2，因为如果小于，则另一组一定大于</p>
<h5 id="完全背包问题"><a href="#完全背包问题" class="headerlink" title="完全背包问题"></a>完全背包问题</h5><p><code>与01背包问题相比，完全背包问题不用考虑会不会取到重复元素的问题。</code></p>
<ul>
<li>有一个最多能装m千克的背包，有n样东西，每种的重量分别是W1，W2，…，Wn,每种的价值分别为C1，C2，…,Cn。若东西多次东西足够多，求他们能获得的最大总价值。<br>&emsp;数学模型如下：<br>&emsp;设f（x）表示重量不超过x千克的最大价值，则<figure class="highlight java"><table><tr><td class="gutter"><pre><div class="line">1</div><div class="line">2</div><div class="line">3</div><div class="line">4</div><div class="line">5</div><div class="line">6</div></pre></td><td class="code"><pre><div class="line">F（x）=max&#123;f(x-w[i])+c[i] &#125; <span class="comment">//当x&gt;=w[i],1&lt;=i&lt;=n</span></div><div class="line"></div><div class="line"><span class="comment">//完全背包的模型</span></div><div class="line"><span class="keyword">for</span> i:=<span class="number">1</span> to n <span class="keyword">do</span> <span class="comment">//枚举1-N的物品</span></div><div class="line"><span class="keyword">for</span> j:=a[i] to m <span class="keyword">do</span> <span class="comment">//枚举1-M的能背出来的范围</span></div><div class="line">f[j]:=f[j] or f[j-a[i]];</div></pre></td></tr></table></figure>
</li>
</ul>
<blockquote>
<p>有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。</p>
<ol>
<li>基本思路<br>这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，<code>与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……等很多种</code>。如果仍然按照解01背包时的思路，令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。<code>仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0&lt;=k*c[i]&lt;= v}</code>。这跟01背包问题一样有O(N*V)个状态需要求解，但求解每个状态的时间则不是常数了，求解状态f[i][v]的时间是O(v/c[i])，总的复杂度是超过O(VN)的。<br><br></li>
<li>一个简单有效的优化<br><code>完全背包问题有一个很简单有效的优化，是这样的：若两件物品i、j满足c[i]&lt;=c[j]且w[i]&gt;=w[j]，则将物品j去掉，不用考虑</code>。这个优化的正确性显然：任何情况下都可将价值小费用高得j换成物美价廉的i，得到至少不会更差的方案。对于随机生成的数据，这个方法往往会大大减少物品的件数，从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度，因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。<br><br></li>
<li>转化为01背包问题求解<br>O(VN)的算法这个算法使用一维数组，先看伪代码：<figure class="highlight java"><table><tr><td class="gutter"><pre><div class="line">1</div><div class="line">2</div><div class="line">3</div></pre></td><td class="code"><pre><div class="line"><span class="keyword">for</span> i=<span class="number">1</span>..N</div><div class="line"><span class="keyword">for</span> v=<span class="number">0</span>..V</div><div class="line">f[v]=max&#123;f[v],f[v-c[i]]+w[i]&#125;;</div></pre></td></tr></table></figure>
</li>
</ol>
<p>&emsp;你会发现，这个伪代码与P01的伪代码只有v的循环次序不同而已。为什么这样一改就可行呢？首先想想为什么P01中要按照v=V..0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[i][v]是由状态f[i-1][v-c[i]]递推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果f[i-1][v-c[i]]。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-c[i]]，所以就可以并且必须采用v= 0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。<br>&emsp;这个算法也可以以另外的思路得出。例如，基本思路中的状态转移方程可以等价地变形成这种形式：<code>f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i][v-c[i]]+w[i]}</code>，将这个方程用一维数组实现，便得到了上面的伪代码。<br>最后抽象出处理一件完全背包类物品的过程伪代码，以后会用到：<br><figure class="highlight java"><table><tr><td class="gutter"><pre><div class="line">1</div><div class="line">2</div><div class="line">3</div></pre></td><td class="code"><pre><div class="line"><span class="function">procedure <span class="title">CompletePack</span><span class="params">(cost,weight)</span></span></div><div class="line"><span class="function"><span class="keyword">for</span> v</span>=cost..V</div><div class="line">f[v]=max&#123;f[v],f[v-c[i]]+w[i]&#125;</div></pre></td></tr></table></figure></p>
</blockquote>

      
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